教学目标

1、使学生理解双曲线的定义，及其标准方程的探索过程。

2、在与椭圆的对比中获得双曲线的知识，培养学生合理猜想进

一步提高分析、归纳、推理能力

教学重点

双曲线的定义和标准方程,及其探索过程

教学难点

理解定义中的“差的绝对值”，a与c的关系

教学过程

复习提问：1、椭圆的定义是什么？

          2、椭圆的标准方程是什么？

导入新课：

    如果把椭圆定义中的“和”改成“差”，那么点的轨迹会怎样？

它的方程又怎样？

在坐标平面内，适当选取两定点F₁、F₂，用几何画板演示点M（x,y）轨迹的形成过程。

通过演示可以看出，满足条件|MF₁|-|MF₂|的点M的轨迹是一条曲线，如果把条件换成|MF|-|MF|那么轨迹是一条和它相对的曲线。象这样的曲线我们就叫做双曲线。

引导学生归纳出定义。

一、定义：平面内与两定点F₁，F₂的距离之差的绝对值是常数2a(a>0,2a<|F₁F₂|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，这两个焦点间的距离叫做焦距，记作2c(c>0)。

由定义知，|MF|-|MF|=2a,|FF|=2c并设动点为M，请大家讨论以下几个问题：

（1）    当0<a<c时，动点M的轨迹是什么？

（2）    当a=c时，动点M的轨迹是什么？

（3）    当a>c>0时，动点M的轨迹是什么？

二、双曲线的标准方程

现在研究双曲线的标准方程。我们可以参照求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程。首先,建立平面直角坐标系,即以两定点连线所在直线为x轴,两定点连线的垂直平分线为y轴。设M(x,y)是双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c(c>0)。那么F₁,F₂的坐标分别是(-c,0),(c,0),又设点M与F₁，F₂的距离的差的绝对值等于2a。

有定义可知，双曲线就是集合P={M|∣MF₁∣-∣MF₂∣=±2a}

∵∣MF₁∣= ,∣MF₂∣=

∴有 - =±2a

化简得：(c²-a²)x²-a²y²=a²(c²-a²)

由双曲线的定义，2c>2a,即c>a,所以c-a>0设c²-a²=b² (b>0)

 

 

 

代入上式得：

               b²x²-a²y²=a²b²      

即                                   (1)

这个方程叫做双曲线的标准方程。它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是F₁(-c,0)，F₁(c,0)这里c²=a²+b²。

如果双曲线的焦点在y轴上，焦点是F₁（0,- c），F₂（0,c）只要将(1)的x,y互换就可以得到它的方程。

              

这个方程也叫做双曲线的标准方程。

例  已知两点F₁（-5，0）F₂（5，0），求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程。

解：按定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c=5,a=3所以b²=c²-a²=5²-3²=4²

因此所求方程是

即

练   习

P_83—1,2

小    结

 

作    业

P_91-1

板书设计

定义

标准方程推倒过程

例 1

例 2

 

后    记