课题：二项式定理 【板书】

认知领域

（1）使同学们掌握二项式定理的结论及其证明方法

       （2）二项式展开式通项。

情感领域：    

        使同学们学会用变换的观点看问题

重点    ：二项式定理及通项

难点    ：二项式定理及通项、证明方法的灵活应用

教学方法：启研法

1、复习提问：

师：(a+b)²、(a+b)³的展开式是什么？

生：(a+b)²=a²+2ab+b²          (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

导言：观察上面两式的共同特点，我们能否得到当指数n∈N时二项式展开式的统一形式，这就是这节课我们要共同学习的内容。

【板书】一、二项式定理及证明：

（1）二项式定理

(a+b)ⁿ＝ aⁿ+ a^n-1b+…+ a^n-rb^r+…+ bⁿ  (n∈N)

师：对于自然数命题可用数学归纳法证明，同学们课后可自己阅读247页至248页定理证明部分，下面我们不妨换个角度来证明这个问题。

【板书】证明：(a+b)ⁿ= ,则展开式的每一项都可以看成由n个括号内取一个 字母(a或b)相乘的结果，则a^rb^n-r 项可看成是n个括号有r个括号取a,余下n-r个括号取b 相乘.如此取法的个数是C ，所以展开式的通项公式是T_r+1＝ a^n-rb^r

所以    (a+b)ⁿ＝ aⁿ+ a^n-1b+…+ a^n-rb^r+…+ bⁿ  (n∈N)

(2) 展开式的通项公式是T_r+1＝ a^n-rb^r    (r=0、1、……n)

 (3)特例：（1+x）ⁿ = xⁿ+ x¹+…+ x^r+…+ xⁿ   (n∈N)

展开式的通项公式是T_r+1＝ x^r   (r=0、1、……n)

 师：(4)  (a+b)ⁿ的二项展开式的性质

项数：展开式共有n+1项

指数：a的指数从n依次减1，最后为0； b的指数从0依次增1，最后为n；每项中a、b的指数和为n.

系数：各项系数依次为 、 、 、… …  。

【板书】二、应用

例1、二项式(2x- )⁴的展开式

证明一：(2x- )⁴

=C (2x)⁴+C (2x)³(- )+C (2x)²(- )²+C (2x)(- )³+C

=16x⁴-48x+6x^-2-x^-5+ x^-8

师：我们可以看到上式的第二项直接展开时比较繁琐，能否先化简再展开。

生：(2x- )⁴= (4x³-3)⁴

= [ C (4x³)⁴+C (4x³)³(-3)+C (4x³)²(-3)²+C (4x³)(-3)³+C (-3)⁴ ]

= [4⁴x¹²+4⁴(-3)x⁹+4²36x⁶-27×4²X³+3⁴]

=16x⁴-48x+6x^-2-x^-5+ x^-8

【板书】例2、求（3 － ）¹⁰的展开式中第4项二项式系数、第4项系数、第4项

解：展开式的通项公式是T_r+1＝ （3 ）^10-r(－ )^r  (r=0、1、……10)

（1）       展开式中第4项二项式系数：  C =120

（2）       展开式中第4项系数:     C 3⁷(- =-77760

（3）       展开式中第4项:         C (3 )⁷(- =-77760

师：由本题我们应体会到二项式展开式中第n项二项式系数、第n项系数、第n项的区别。

（1）、若n∈N  ( +1)ⁿ= a_n+b_n   (a_n、b_n∈Z)  则 b_n的值

A、一定是奇数                            B 、一定是偶数               

C、 与n奇偶性相反                  D、与n奇偶性相同

生：(1+ )ⁿ=

+ ¹+ ( )²+ ( )³+…+ ^r+…+ ( )ⁿ

 (n∈N)

∴b_n= + ( )²+ ( )⁴+…… =1+2 +2² +2³C +……

∴b_n是奇数      选择A

（2）、  已知在( 展开式里，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有的有理项.

师：由于题目与展开式中具体的项有关，故要用通项公式解题，而在通项公式T_r+1＝ 中，n、r均未知，根据题意可由已知条件列关于n的方程先求n，再求r.

生：∵T_r+1＝ ＝

展开式前三项系数为 ，由题意，它们成等差数列

∴有

解之得n＝8或n＝1(舍)∴T_r+1＝ .

由题意，∴4- 必须是整数，且0≤r≤8,r∈Z∴r＝0，4，8，

∴展开式里的有理项有三项，它们分别是T₁＝ ＝x⁴

T₅＝ = ， T₉＝ ＝ .

4、【板书】思维拓展

求(x+y+z)¹⁰  中x²y³z⁵项的系数

师：这是三项的展开问题，可先把其中两项结合即可转化成二项展开问题

生一：(x+y+z)¹⁰=[ (x+y)+z]¹⁰

展开式中含 z⁵项为 C (x+y) z⁵

而(x+y)⁵展开式中含  x² 项为  C x²y³

所以  (x+y+z)¹⁰  中x²y³z⁵项为  C z⁵C x²y³

即(x+y+z)¹⁰  中x²y³z⁵项的系数为 C C

生二：(x+y+z)¹⁰=

x²y³z⁵项相当于10个括号中，5个括号取z,3个括号取y,余下2个括号取x相乘的结果. 即(x+y+z)¹⁰  中x²y³z⁵项的系数为 C C

师：法一使用的是二项式定理的结论，法二使用的是定理证明的方法，同学们对比一下两种方法的不同。

5、小结：本节课我们介绍了二项式定理及应用，同学们需要注意的是定理证明的方法也有一定的使用价值。

6、作业：1、（  的展开式中有理项个数是多少？（17项）

      2、253页第5题