教学目标

l         使学生掌握复数的幅角、幅角主值、复数的三角形式的概念，从而能够利用几种表示形式间的内在联系准确、熟练地进行代数形式与三角形式互化。

l         训练学生数形结合的数学方法。

教学方法指导性学习

教学过程

 

一、启  疑

 

师：我们已经学习了复数的几种形式？每一种形式有几个要素？（教师用幻灯片打出图一）。

生：定义形式a+bi和几何形式点Z与向量 ;每一种形式都有两个要素。

师：复数z=a+bi模的几何意义及计算公式是什么？已知复数的模能确定复数对应点的具体位置吗？为什么？若不能，还需什么条件？

生：复数z=a+bi模的几何意义是复数对应点Z到原点O的距离；计算公式是 ；因为已知复数的模只能确定对应点在以原点为圆心以模为半径的圆上，所以不能确定复数对应点的具体位置，还需要确定向量的方向。

师：复数的方向用什么表示？又怎样表示呢？能否用向量的模和方向直接表示出复数呢？反过来，能否求出复数的模和方向？这就是我们这节课要研究的问题。（三分钟）

（通过适当的问题，突出已知知识与未知知识之间的联系与矛盾，以激发学生的学习兴趣和探求解决问题的欲望。）

 

 

师：（板书）z=1+i，对应向量的模、方向是什么？

生：模r= ,方向是与x轴正半轴成45⁰角。

师：为什么用x轴正半轴作始边？45⁰ 是怎样形成的？能给这样的角起个科学的名字吗？（这有利于培养学生寻根问源的学习习惯，同时有助于概念的理解。）

生：在直角坐标系中研究角就是以x轴正半轴为始边的；45⁰角是坐标原点为顶点，以x轴正半轴为始边，以z=1+i对应的向量 为终边所形成的角。 它表示复数方向的角，叫做“辐角”较科学，“辐”谐音“复”，同时取向量辐射之意。（二分钟）

师：（板书）复数的辐角：复数z=a+bi对应的向量 以x轴正半轴作始边，向量 所在射线为终边的角 ，叫做复数z=a+bi的辐角，记作Argz.

师：不等于零的复数的辐角有几个？它们有什么关系？为什么？零的辐角是什么呢？

生：不等于零的复数的辐角有无数个，它们相差2π的整数倍；因为与θ终边相同的角集为

{α∣α=2kл+θ，k Z}.因为复数零对应的向量缩成一个点，方向是任意的。所以，零的辐角为任意角。

师：（肯定学生的正确性。为了使辐角唯一，同时板书）适合于0≤θ＜2π的辐角θ的值叫作复数的辐角主值，通常记作argz.“ arg0”是0≤θ＜2 间任意一个角。Argz.与argz.是种与属的关系。下面，同学考虑：

1、  argz=45⁰表示复数z对应点在那里？辐角的几何意义是什么？非零复数相等的充要条件是什么？

2、  怎样求z=a+bi的辐角呢？特别地，a>0, arga, arg(-a), arg(a i), arg(-ai)分别是什么？

3、  怎样用z=a+bi的模和辐角直接表示出复数呢？（3分钟）

（学生有了求知欲望后，教师及时抓住时机，因势利导，针对复数代数形式与几何形式的内在联系的问题，以启迪学生，引导思维。然后要求学生自己动脑、动手，一个个去解决。）

 

 

学生积极动脑、动手探求前面四个问题的答案。在此过程中教师巡视全班，对个别学生适当指点。然后提问学生，并一一叫准。[只要学生对旧知识掌握得好，教师引导得当，完全有可能由学生主动去探求新知识、独立地解决新问题。]

生甲：1、复数z对应点位于以原点为起点，第二象限角分线所在的射线上；复数的辐角几何意义：表示复数对应点位于辐角所在的射线上；即复数对应向量的方向。

2、非零复数相等的充要条件是模相等、辐角相同；

3、设辐角θ，r²=a²+b²,sinθ= ,cosθ= ，即 tgθ= ，其中θ所在象限由对应点位置决定。这样，arga=0；arg(-a)=π； arg(a i)= , arg(-ai)= - 。

4、由“3”知，a=rcosθ,b=rsinθ,所以z= rcosθ+i rsinθ=r(cosθ+isinθ), 其中r是z的模，r≥0; θ是辐角。

生乙：我认为“3”题“模相等辐角相同”是非零复数相等的充分不必要条件，两个非零复数相等的充要条件是模相等辐角主值相同。[此处易模糊，需强调]

师：很好，同学们对以上四个问题的回答正是这节课的中心。z= r(cosθ+isinθ)是复数的三角形式。（2分钟）

 

四、集  中