师：复数的三角形式是一个严格的定义，理解了它的来龙去脉就能更好地掌握它，用三角函数符号表示的复数就能叫作复数的三角形式吗？同学们，谁能归纳一下它的形式特征？

生：对于表示一个复数的式子，能否叫做复数的三角形式，不是看它是否含有三角符号，而是看它是否满足下列条件：模非负，角相同、余正弦、正号连。有一条不满足它就不叫复数的三角形式。

师：对这个学生的观察、归纳能力表示赞许，并说明θ是一个辐角即可，不必是主值。至此复数的表示形式有（略停顿和同学们一起说出）三种。这三种形式通常说来说去，所以互相转化就要掌握。（4分钟）

 

五、应  用

 

师：前面我们已经通过复数的三种形式的内在联系得到了复数的三角形式，下面我们来巩固一下概念并应用它。

练习判断下列形式是不是复数的三角形式？若不是，说明为什么，并化成复数的三角形式；(教师用幻灯片打出)

1、   （cos +isin ）;   2、 [cos( )+isin( )];   3、 (cos isin );

4、 sin +icos ;        5、2(cos90⁰+isin30⁰);

（学生议论一分钟后提问）

生甲：1，3，4，5都不是，只有2是复数的三角形式；对1，   不能作模，应改为 （cos +isin ）；

对3，弦间不是正号连，应改为  [cos（ ）+isin（ ）];对4，不满足辐角是 ，应改为sin +icos =cos( )+isin( )=cos +isin ;对5，不是同一个角，应改为2(cos90⁰+isin30⁰)=i= cos90⁰+isin90⁰;

教师讲评学生的解答并小结：含有同一个角的“伪三角式” 化三角式的方法是：一、变模；二、利用诱导公式化成符合复数的三角形式的特征；不含有同一个角的“伪三角式”化三角式的方法是：一、还原为复数的代数形式；二、求模；三、求辐角的正切值得辐角；四、写出三角形式。这就是将一个复数化成三角形式的步骤。这也是一个重要内容。请做（幻灯片幻出）。（五分钟）

例一、   把下列各式化成三角形式：

（1）、1-i;（2）、3-4i;（3）、1+itgα,α ( ,π)；

解（学生口述教师板书）：

（1）、r= ,tgθ=－1，因为1-i对应点在第四象限，所以

arg(1－i)= ，于是1-i= (cos +isin ).

 (2)、r= =5,tgθ=－ ,因为3-4i对应点在第四象限，所以arctg(－ )是3-4i的一个辐角，于是，3-4i=5[cos arctg(－ ) +isin arctg(－ )];

教师再次指出θ是一个辐角就行，不必一定是辐角主值。以上复数的实部、虚部是具体的数，化三角式的步骤是什么？

生：复数的实部、虚部是具体的数，化三角式的步骤是三部曲：求模、定辐角、写出三角式；

师：若是三角函数值呢？同学们考虑（3）。

生甲（同学口述，教师继续板书）：

（3）、r= = ,∵α ( ,π), ∴r=－secα,又tgθ=tgα,1+itgα对应点在第四象限,

 ∴arg(1+itgα)= α+π, 于是，1+itgα=－secα[cos（α+π）+isin（α+π）]。

[教师肯定这种做法，并询问有没有其他做法？]

生乙：在练习中对只含一个角的复数式利用三角函数中的诱导公式，本题中也只有一个角，我利用三角变换推导行不行？    

1+itgα= ，∵α ( ,π)，∴cosα<0, ∴1+itgα=secα(cosα+isinα)= －secα(－cosα－isinα)= －secα[cos（α+π）+isin（α+π）]。

师：这种方法比甲好，可以看出，在复数式中只含一个角的复数化三角式，首先利用三角变换化成“伪三角式”，然后，利用诱导公式化成三角形式。直接利用三角变换就得出了。

（全班气氛活跃，情绪热烈，议论纷纷，课堂学习达到了高潮，大家都感到这是一种偶然。

师：（进一步指出）这种推导方法的依据是复数的二元性及三角变换。[中学生的一个重要特点是具有强烈的求知欲和好胜心，这正是教师启发学生进行独立探索和创新活动的心理基础，教学中应该创造条件，尽量使学生有充分发表意见的“自由”，特别要珍惜、鼓励学生的创新精神。要善于把学生的智慧、创见及时地吸收到教学活动中来，以丰富教学内容。这样做不仅对培养学生的创造性思维能力与发挥他们的潜能具有重大意义，而且有助于教学相长，不断提高教师自身的教学水平。] （八分钟）