例二、（1991年高考题）已知z=1+i,求复数 的模与辐角主值.

师：谁能分析一下解题思路？

生：首先求出欲求式的三角形式，然后得出模与辐角主值.

师：很好，本题解题思路很明显，下面同学动手去解，认为自己正确的可以举手。[这是培养学生运算准确性的关键章节，所以必须让学生亲自动手去做]。稍候提问学生结果，待结果统一后，学生口诉，教师板书。

解：原式= = = =1-i. ∴r= ,tgθ=-1, 对应点在第四象限，于是,arg( )= .（五分钟）

 师： 通过本题我们知道了求复数的模和辐角可以先求出该复数的三角形式。根据复数的模和辐角的几何意义还可以解决下列题型。（幻灯片幻出）

例三（1）、在复平面内，求 ≤1,且argz [ ]的复数z的对应点所构成的图形面积。

⑵、在复平面内，复数满足 =1求复数z－2的辐角主值的最大值和最小值。

师：谁能分析一下（1）的解题思路？

生：欲求面积必先画出图形，复数的对应点Z所构成的图形是单位圆上的一块扇形区域，该扇形半径为1,圆心角为α= － 代入扇形面积公式 = lr= αr²即可。

                    

师：首先对他（她）正确的思维表示赞赏，然后询问这是什么解题方法？并同时将一学生的练习本放到幻灯下，放一下图三并公布答案是 ；谁能分析一下（2）的解题思路？

生甲：本题我也是用数形结合法，复数的对应点Z所构成的图形是单位圆，由减法及辐角的几何意义知，arg(z－2)表示单位圆上的点Z与点E（2，0）的连线所成向量 的辐角主值，由平面几何的知识可知，相切时是极值，所以，过E作⊙O的两条切线OA，ON，如图四可得，arg(z－2)的最小值为 ，arg(z－2)的最大值为 。

师：谁还有其他方法？（鼓励学生积极思考）

生乙：本题我也是用数形结合法，由 =1，可用代换法设t= z－2,求出t的轨迹后，再求t的辐角主值的最值。

师：将乙的练习本幻于幻灯下，如图五。并让学生比较甲乙两种方法，指明二者的一致性。数形结合法在数学中应用很广泛，复数这一章更离不开它 ，这是我们这节课学习的重要数学方法。诚然本题也可用前面求辐角的方法来求。（放幻灯片即可，目的是让学生多方位了解辐角主值，并且体现三种表示方法间的内在联系）。

解：∵ =1，设z=cosθ+isinθ(0≤θ<2π), ∴z－2=(cosθ－2)+isinθ.

 设 arg(z－2)= α,由cosθ－2<0, －1≤sinθ≤1,故 <α< ,

令y=tgα= , 则ycosθ－2y=sinθ, sinθ－ycosθ=－2y,

得 sin(θ－Φ) =－2y（其中tgΦ=y）.

 ∵∣ sin(θ－Φ)∣≤1

∴∣－2y∣≤ ，解得tgΦ=y [－ ， ]，

故 = ， =

通过例三的学习可以看出，复数三种表示形式间相辅相成，当几何意义明显时数形结合很简便；当涉及加减运算时，设出代数式或三角式进行运算很方便。如何选择依题特点而定。（十分钟）

 

六、总结及布置作业

 

[师生一起总结]本节学习的内容有：两个有从属关系的概念，一种重要形式，两种化复数三角形式的方法，一种重要数学方法。（5分钟）

作业：1、把下列各式化成三角形式：（1）、1+ i;（2）、-8; （3）、1-cosθ+isinθ, θ (0, π);

2、第211页的2、3题。