课题章节

  §3.2  一元二次不等式的解法

 

教学目的

从一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系出发，掌握利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法

教学重点

一元二次不等式的解法

教学难点

讲清一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系

教学内容及过程：

一、导言：

1、              当x取什么值时，3x-15的值1）等于0，2）大于0，3）小于0。

2、              你可以用几种方法求解上题？

像3x-15>0（或<0）这样的不等式常用的有两种解法。

1）图象解法：利用一次函数y=3x-15的图象求解。

注意：①直线与x轴交点的横坐标就是对应的一元一次方程的根。

②图象在x轴上面的部分表示3x-15>0

2）代数解法：用不等式的基本性质直接求解。

注意：此法也是对比一元一次方程的解法得到的。

二、复习提问：

画出函数y=x²-x-6的图象，利用图象回答。

1）方程x²-x-6=0的解是什么？

2）x取什么值时，函数值大于0？

3）x取什么值时，函数值小于0？

三、讲授新课：

1、结合二次函数y=x²-x-6的对应值表与图象，可以得出方程x²-x-6=0的解是x=-2或x=3。

 当x<-2或x>3时，y>0，即x²-x-6>0

 当-2<x<3时，y<0，即x²-x-6<0

以上结果表明：由一元二次方程x²-x-6=0的解是x=-2或x=

3

3，结合二次函数y=x²-x-6的图象就可以知道一元二次不等式x²-x-6>0的解集是{ x| x<-2或x>3}；一元二次不等式x²-x-6<0的解集是{ x|-2<x<3}

提出问题：一般地，怎样确定一元二次不等式ax²+bx+c>0与一元二次不等式ax²+bx+c<0的解集呢？（组织讨论）

从上面的例子出发，综合学生意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集的关键是要考虑以下两点：

1）抛物线y= ax²+bx+c与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况。

2)抛物线y= ax²+bx+c的开口方向就是a的符号。

2、总结讨论结果：

1）抛物线y= ax²+bx+c（a>0）与x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程ax²+bx+c=0的判别式D=b²-4ac的三种取值情况（D>0，D=0，D<0）来确定，因此，要分为三种情况讨论。

2）a<0可转化为a>0的情况再求解。

3、分D>0，D=0，D<0三种情况得到一元二次不等式ax²+bx+c>0与一元二次不等式ax²+bx+c<0的解集。

例1~~例4

4、解一元二次不等式的步骤：

1）把二次项系数化为正数；

2）解对应的一元二次方程；

3）根据一元二次方程的根，结合不等号的方向，写出不等式的解集。

拓广引申

练习：对任何实数x，不等式kx²-(k-2)x+k>0都成立，求k的取值范围。