教学目的：

掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式，会利用二项展开式及通项公式解有关问题。

教学过程：

一、引入新课

教师引导，初中我们学习了完全平方公式和立方公式，前一节我们又学习了组合数公式，容易得到

 

 

 

二、探索规律，得出结论

1、提出问题

(a+b)⁴ = (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)的展开式中的各项是什么？

思考：在(a+b)⁴ = (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)的展开式中ab³是怎样来的？有多少个ab³？

教师引导：ab³即abbb，是从上面四个括号中各选一人而来，三个b自四个括号中给出，四个括号中选三个b，有C₄³种可能，由于选出三个b的括号的同时自然剩下一个括号选出a。因此a与b³是同时得到的。所以在计算ab³的数目时，只需考虑b³的数目就可以了，而不必考虑a的数目，所以的个数是C₄³，即ab³的系数是C₄³。

学生实践：由学生按刚才的道理分别写出a⁴，，a²b²，的系数。

2、归纳结论

（1）由以上探索我们得到：

(a+b)⁴= C₄⁰ a⁴+ C₄¹ a³b + C₄² a²b²+ C₄³ ab³+ C₄⁴ b⁴

（2）提问：谁能写出(a+b)⁵、(a+b)⁶的展开式？

（3）归纳：一般对于任意正整数n，我们有

(a+b)ⁿ= C_n⁰aⁿ+C_n¹a^n–1b+…+C_n^ra^n–rb^r+…+C_nⁿ bⁿ(n∈N)

指出：①这个式子所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫做(a+b)ⁿ的二项展开式，各项系数C_n^r（r=0，1，2，……，n）叫做二项式系数。

②式中C_n^ra^n–rb^r叫做二项展开式的通项，记作

T_r+1= C_n^ra^n–rb^r

（4）找规律，系数：C_n^r的下标为n，上标的序数r+1少1，指数：b^r的指数与C_n^r的上标相同，a^n–r的指数与b^r的指数之和为n。

3、特例

在二项展开式中令a=1，b=x让学生写出

(1+x)ⁿ = 1+ C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ

结合具体的例子启发学生体会这种“取特例”研究数学的方法。

三、定理应用

1、例题：

①          ②           

③

2、小结：例1、例2的作用在于熟悉二项展开式，例2讲解时应说明当二项式样较复杂时，可先将式子化简，然后再展开，例3是用展开式的通项公式求给定项，这时避免出错的关键是弄清共有多少项，所求的是第项，相应的是多少。

3、课堂训练：

①写出（p+q）⁷的展开式

②求(2a+3b)⁶的展开式的第3项

③求(3b+2a)6的展开式的第3项

答案：

①p⁷+7p⁶q+21p⁵q²+35p⁴q³+35p³q⁴+21p²q⁵+7pq⁶+q

②T₃=2160a⁴b²

③T₃=4860b⁴a²

1、展开（a+b）⁵

2、化简

1、a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵

2、2+20x+10x²