抛物线及其标准方程

教学目的：1、掌握抛物线的定义及其标准方程。

2、进一步熟悉坐标法，能根据已知条件用坐标法求抛物线的方程。

3、会根据抛物线的标准方程，求该抛物线的焦点坐标、准线方程、画出其图形。

4、会根据抛物线的焦点坐标或准线方程，求出该抛物线的标准方程。

1、复习提问：

问题：与一个定点的距离和一条定直线距离之比等于常数e的轨迹，当0<e<1时是            ；e>1时是             ；e=1时它又是什么曲线呢？

注：把问题作为出发点，创设有效的学习情境，使学生积极参与，集中精力思索，发挥学生的学习的主体作用。

2、新课内容：

（1）导入：当e=1时，动点M的轨迹是抛物线，进而给出抛物线的定义。

（2）求抛物线的标准方程。

对于已经画出的抛物线，建立适当直角坐标系。设抛物线上任意一点M的坐标为（x，y），定点F到定直线L的距离为 p，由已知动点M（x，y）到定点F的距离 |MF| 与动点M（x，y）到直线L的距离d之比为1，转化出关于x、y的等式，化简得抛物线的方程。

学生建立直角坐标系的方法可能有：

y                    y             y

 L        M(x,y) L        M(x,y) L         M(x,y)

 

0  F(p,0)   x   –p    F    x        0  F  x

 

 

由方法①得抛物线方程为            ；由方法②得抛物线方程为            ；由方法③得抛物线方程为            ；方法③所得方程最简单，故取它为标准方程。

强调：（1）p的几何意义；（2）已知抛物线的标准方程y² = 2px（p>0），迅速写出它的焦点F的坐标和准线的方程；（3）已知抛物线的焦点F（p/2，0）或准线方程x = –p/2（p>0），迅速写出该抛物线的标准方程。

（3）讨论抛物线的四种位置上的标准方程。

①让学生分组分别求抛物线的四种位置上的标准方程；

②师生共同填好抛物线分类讨论表格；

③观察、归纳，找出它的异同点，学生填表。

（4）例题与练习：

例（1）已知抛物线的标准方程是y² = 6x，求它的焦点坐标和准线方程；

（2）已知抛物线的焦点坐标F（0，­­–2），求它的标准方程。

3、课堂训练：

（1）焦点F为（3，0）的抛物线的标准方程是（  A  ）

A、y² = 12x    B、y² = –12x     C、x² = 12y     D、x² = –12y

分析：焦点F（3，0）在x轴的正半轴上，所以抛物线开口向右，且P=6，所以，抛物线的标准方程为y² = 12x，故选A。

（2）根据下列条件，写出抛物线的标准方程：

①焦点F（4，0）；②焦点在直线3x–4y–12=0上。

解：①y² = 12x；

②y² = 16x， x ² = –12 y。

（3）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

①y² = 28x；                ②4x ² = 3 y；

③2y² + 3x = 0；            ④4ax ² = y（a<0）。

解：①焦点（7，0），准线x = –7；

②焦点（0，3/16），准线y = –3/16；

③焦点（–3/8，0），准线x = 3/8；

④焦点（–1/16a，0）准线y = 1/16a。

4、小结：

本节课学习的主要内容是抛物线的定义、焦点、准线、标准方程等基本知识及相互关系；理解P的几何意义，即P是焦点到准线的距离，P>0；掌握用坐标法求曲线方程的方法，要注意选好坐标系的恰当位置。

5、作业：

（1）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

y² = 20x；     x ² = 8y ；    4x ² = y。

（2）根据下列条件写了抛物线的标准方程：

焦点F（5，0）；        焦点到准线的距离为3。

答案：（1）F（5，0），L：x = – 5；F（0，2），L：y = –2；F（0，1/16），L：y = –1/16。

（2）y² = 20x；     y² = + 6x 和x ² = + 6 y。