教学目的：使学生对转换思想从感性认识初步上升为理性认识并使学生有意识地利用转换     

          思想解决实际问题。

重点：等价转换思想

难点：应用

导言：所谓转换思想，就是经过对待解题目的条件和问题进行仔细揣摩再与熟知的其它有                                  

      关知识和手法进行美化，从而有效地变更元素，变更形式或变更等价命题，使待解       

      问题由生疏      熟悉、复杂      简单、抽象      具体。

例1、已知    sinx+2cosy=2,则2sinx+cosy的取值范围是            。

分析：若从       ≤1和      ≤1入手，则需结合条件等式反复核算方可得sinx或cosy 

      的实际范围，况且此法极易疏乎致错。若能发现此题中均sinx和cosy的一次量构成，则可以考虑用换元法使之成为一次函数问题。

解：设 x’=sinx, y’=cosy 则原条件成为

       x’+2y’=2(|x’|≤1,∣y’∣≤1)

       观察其几何图形是一线段（如右图）               y

       则有事0≤x’≤1, ≤y’≤1                         2  

       所以  2sinx+cosy=2x’+y’

                      =2(2-2y’)+y’                        1

                      =4-3y’

                      Î[1, ]                                 1     2   x

 

 

例2 对于满足êP ê≤2的所有实数P,求使x²+px+1>2x+p 恒成立的x 的取值范围。

分析：本题中x与p实际上均是变量，但若分析到p是一次量，则可改变习惯，只视p为变量，暂把x看作常数，使不等式化为（x-1）p+(x-1)²>0,用一次函数观点处理起来，就可避开对“1-p”与“1”的大小讨论这一常规方法所带来的麻烦。

  解：原不等式可化为（x-1）p+(x-1)²>0

      设f(p)=(x-1)p+(x-1)²  (∣P∣≤2)

      则原命题变成等价命题“求使y=f(p)当∣P∣≤2时，值恒正的待定系数x的取值范围。”

      又因y=f(p) (∣P∣≤2) 为线段，由几何意义，只须令

           f (-2)>0

                     即可   解得  x<-1或x>3

           f (2)>0

例3 已知f (u)=u²+au+b-2,其中u=x+  (x≠0,a,bÎR)

     若f (u)=0有实根，求a²+b²的最小值

     分析：显然½u½≥2,若处理方程f (u)=0在½u½≥2上有解的问题，势必分几种情况讨论，且列得若干不等式似乎难与a²+b²联系。倘若能发现系数a,b均为一次，且a²+b²与 有联系，本题可转化成命题“求原点到直线g (a,b)=0的距离平方的最小值”。

 解：将f (u)=0 写成g (a,b)=au+b+u²-2=0

     所以 u=x+1/x

     所以½u½≥2 则原点到直线g (a,b)=0上点的距离d= 显然原点到直线的距离最短

 

    所以a²+b²≥( )²=(u²+1)+ -6≥

    当且仅当u=+2时等号成立。

例4 试求常数m 的取值范围，使曲线y=x²所有弦都不能被直线y=m (x-3)垂直平分。

  分析：若命题改成“求存在弦被直线垂直平分的m范围”，则是我们较熟悉的问题。所以本题可从反面入手。

  解：设存在弦AB，能被直线y=m(x-3) 垂直平分,其中A（x₁, y₁）B(x₂, y₂),中点M(x₀,y₀)

     则有   y₁=x²

                   作差得 =x₁+x₂

            y₂=x₂²

        所以x₀= = = -

     则 y₀=m (x₀-3)= -  -3m

     若AB被直线垂直平分，中点M必在y=x²内部，即y₀>x₀²

     可得12m³+2m²+1< 0

       即 （2m+1）(6m²-4m+1)< 0 得m<-

       依题意 则m≥- 为所求。

小结：从以上可以看出，转换思想实际上是化难为易，化生为熟，化繁为简的处理问题手法，     而这种手法最重要一点就是等价性

作业：见大篇作业。