教学目的：使学生掌握数形的相互转化，灵活地动用数与形的结合，可使问题简单化，从而得到简捷的解法。

重点：根据图形的几何性质，建立某几何量的代数表达式。

难点：怎样由图形建立代数表达式。

教学过程：

引入：近年来，高考对数形结合思想考查十分重视，占有很大的比例。故在平时训练的过程中，对数形结合思想十分重视，加强练习。现举例如下。

 

例1：如果实数x,y满足x²+y²-4x+1=0 (1)求      的最大值  （2）y-x的最小值。

[分析]  x²+y²-4x+1=0表示圆心为（2，0），半径为     的圆，x,y满足该方程，说明P（x,y）点在圆上，设     ＝k，则K是P点与原点连线的斜率，设y-x=b，则b是过点P，斜率为1的直线的纵截距，于是题1实质上是求原点与已知圆有公共点的直线的斜率的最大值。题（2）实质上是求斜率为1的与已知圆有公共点的直线的纵截距的最小值。

[解]（1）设     ＝K，则y=kx，由图知直线y=kx和已知圆C在第一象限相切时，K最大，此时|CP|＝     ，|OC|＝      故∠POC＝60^o  k＝      （  ）_max＝        Y

 

（2）设y-x=b则y=x+b由图知，当直线y=x+b和圆切于第四象限时，b最小，

此时，

                        ∴               或                       O         C

 

故（y-x）_max=              .

例2．已知直线l：y=x+b,曲线C：y=         有两个公共点，求b的取值范围。

[解]：方程y=x+b表示斜率为1的平行直线系，方程y=       

表示单位圆仅次于x轴，及其上方的半圆。如图，当l通过                 Y   l₂        l₁

A（－1，0）B（0，1）两点时，l和C交于两个点，此时b＝1，                B  

直线记为l₁,当l与半圆相切时，切线记为l₂ ,那么l夹在l₁和

l₂之间时，l和C有两个不同的公共点，因此，1≤b<    。          A     O         X

[练习]：

1．已知不等式                  的解为0≤x≤8，试结合图象求常数a的范围。

2．已知不等式              的解集为（4，b）求a的值。

 

3．解不等式                      

4．如果复数不满足| z+i|+|z-i|=2,求|z+i+1|的最小值。

 

5．若                                  求α的范围。

[小结]用解析法，求最值问题，首先从几何直观出发，根据图形的几何性质，洞察出最值出现的时机和位置，再从代数演算出发，建立某几何量的代数表达式，把问题归结某函数的最值问题计算，这是由形到数的常用方法。

[作业]1．设复数Z＝   ，则满足等式Zⁿ=Z，且大于1的正整数n中最小的是什么？

2、设X>0,Y>0, X²+Y²=1,求 的取值范围。

3、圆X²+2X+Y²+4Y-3=0上到直线X+Y+1=0的距离为 的点共有多少个？