课题： §6。12数学归纳法（1）                                                                                      

课型：新课 

 

教学目的：1.了解归纳法的意义 ，培养学生观察、归纳、发现的能力。

2.了解数学归纳法原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤。

3.抽象思维和概括能力进一步得到提高。-

 

教学重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析。

 

 

教学难点：数学 归纳法中递推思想的理解。

 

 

教学方法： 引导、探索法。

             

教具：微机、大屏幕。

 

 

 

 

 

 

 

 

教学过程：（一）引入新课：

师：这节学习数学归纳法，什么是数学归纳法呢？应该从认识什么是归纳法开始。

（板书课题：数学归纳法）           

   

         （二）什么是归纳法:（板书）   

 师：请看下面几个问题，并由此思考什么是归 纳法，归纳法有什么特点。

问题1：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋是白球，还是黑球，请问怎么办？（可准备一袋 白球，问题在大屏幕打出）                                                                                                                                           

 

生：把它倒出来看一看就可以了。

师：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性，按顺序性操作怎么做？

生：一个一个拿，拿一个看一个。

师：对，问题的结果是什么呢？（演示操作过程 ），第一个白球，第二个白球、第三个白球，…，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球。

问题2：在数列{a_n}中， a₁=1，                                                                                       

先计算a₂、_、、、a₃、a₄ 的值，在推测通项a_n的公式（问题由大屏幕给出）生： a₂= _、a₃=  a₄= _。由此得到：a_n= （n  N+）

师：同学们解决以上两个问题用的都是归纳法，你能说说什么是归纳法，有什么特点吗？

生：归纳法是由一些特殊事例推出一般结论的推理方法。          

特点：由特殊 一般（板书）

师：很好。其实，在中学数学中，归纳法我们早就接触到了。例如，给出数列的前四项，求它的一个通项公式用的是归纳法，确定等差数列、等比数列通项公式用的也是归纳法，今后的学习还会看到归纳法的应用。

在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用。例如,气象工作者，水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法。

还应该指出问题1和问题2，运用的归纳法还是有区别的。问题1中，一共12个球，全看了，由此而得到的结论，这种把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法。对于问题2，由于自然数有无数个，用完全归纳法去推出结论就不可能，它是由前四项体现的规律，进行推测，得出结论的，这种归纳法称为不完全归纳法。

（三）、归纳法的认识：（板书）

  归纳法分完全归纳法和不完全归纳法（板书）师：用不完全归纳法既然要推测，推测是要有                                     

    点勇气的，请大家鼓起勇气研究问题3。                                                                                           

问题3：对于任意自然数n，比较7^n-3与6（7n

 

 

+9）的大小（由大屏幕给出）

   （给学生一定的计算、思考时间）

生：经过计算，我的结论是：对任意n N₊，7^n-3<6（7n+9）

师：你计算了几个数得的结论？

生：4个。

师：你算了n=1，2，3，4这4个数，而得到的结论，是吧？

生：对。

师：有没有不同意见？

生：我验了n=8，这时有7^n-3>6（7n+9）。

他的结论不对吧！

师：用你的结论是什么呢？（动员大家思考、纠正）

生：我的结论是：

    当n=1，2，3，4，5时，7^{n -3}<6（7n +9）；当n=6，7，8，。。。时，7^n-3>6（7n+9）。

师：由以上的研究过程，我们应该总结什么经               

验呢？我认为首先要仔细地占有准确的材料，不能随便算几个数就作推测。请把你们计算结果填入下表内：

师：依据数据作推测，决不是乱猜，要注定对数据作出谨慎地分析。由上表可看到，当n依1，2，3，4，、、、变动时，相应的7^n-3的值以后一个是前一个的7倍的速度在增加，而6（7n+9）相应值的增加速度还不到2倍，完全有理由确认，当n取较大值时，

7^n-3 6（7n+9）会成立的。

师：对问题3推测有误的同学完全不必过于自责，接受教训就可以了，其实在数学史上，一些世界级的数学大师在运用数学归纳法时也曾有过失误。                                                                                                                                                                                                                                         

 

 

              

              

                       

 

资料1：（大屏幕给出由学生阅读）

费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献。但是，费马曾认为，当n N时， +1一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4作了验证后得到的。18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了 +1=4294967297=6700417×641从而否定了费马的推测。

师：有的同学说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的，但是要告诉同学们，失误的关键不在多算一个数上！再请看数学史上的另一个资料（仍由学生阅读）。

资料2：f（n）=n²+n+41，当n N时，f（n）是否都为质数？f（0）=41，f（1）=43，f（2）=47，f（3）=53，f（4）=61，f（5）=71，f（6）=83，f（7）=97，f（8）=113，f（9）=131，f（10）=151，、、、f（39）=1601。

但是f（40）=1681=41²是合数。  

师：算339个数不算少了吧，但还不行！我们

介绍以上两个资料，不是说世界级大师错，

我们出错就可以原谅也不是说归纳法不行

不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来。

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      

生：应该予以证明。

师：大家同意吧？对于生活、生产中的实际问

题，得出结论的正确性题，应接受实践         

的检验，因为实践是检验真理的唯一标

师：归纳法为什么出错呢？

生: 完全归纳法不会出错。

师： 对！但运用不完全归纳法是不可避免的，

    它为什么回会出错呢？

生：由于用不完全归纳法时，一般结论的得出

带有猜测的成分。

师：完全同意，那么怎么办呢？

生：应该予以证明。