课题：第二章第九节 双曲线及其标准方程    

课型：新知课

教学目的：（1）双曲线的定义及其标准方程

            （2）能根据已知条件判断所求轨迹为双曲线并求出标准方程

教学重点：对比椭圆和双曲线的定义及标准方程的相同点和不同点

教学难点：对双曲线的定义的理解

 

教学方法：以旧导新、讲练结合            

教具：投影仪  多媒体

教学过程：

一 、复习提问：

1、              椭圆的定义；

2、              椭圆的标准方程。

二、新课：

双曲线的定义：平面内与两个定点F  、F 的

距离的差的绝对值是常数（小于 ）的点的轨迹叫做

双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。

[找学生比较椭圆和双曲线的定义，说出相同点和不同点。老师归纳总结：〈1〉相同点：都是平面内的动点和两个定点的距离；〈2〉不同点：椭圆是距离的和，而双曲线是距离的差。]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[下面我们根据定义，来推导一下双曲线的方程：]

取过焦点F F 的直线为x轴，线段F F 的垂直平分线为y轴，设M（x，y）是双曲线上的任意一点，双曲线的焦距为2c（c>0），则F 、F 的坐标分别是（-c，0）、（c，0），又设点M与F 和F 的距离的差的绝对值等于常数2a，由定义可知

=2a ，即 = 2a

化简，得

   （c -a ）x -a y =a (c -a )   (1)

由双曲线的定义可知： 2c>2a ,即 c>a,  c -a > 0

设c -a =b （b>0）代入(1)，得b x -a y =a b

即   这个方程叫做双曲线的标准方程，它表示双曲线的焦点在x轴上。如果以线段F F 所在的直线为y轴，线段F F 的垂直平分线为y轴建立直角坐标系 ，得到的方程为：    

所以双曲线的标准方程有两种类型：

（1） ，焦点在x轴上，焦点F （-c，0）

                 c =a +b      焦点F （c , 0）

（2） ，焦点在y轴上，焦点F （0，-c），

焦点F （0，c）

[比较双曲线的标准方程与椭圆的标准方程的异同点：

相同点：〈1〉方程等号一端为1，

〈2〉两个平方项的分母也是a 、b 。

不同点：〈1〉椭圆两项都为正，双曲线一正一负。

〈2〉椭圆中a =b +c

  双曲线中c =a +b ]

问题：（1）如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？

（2）c、a、b三个量大小关系如何？

答：（1）判断标准：哪项正，焦点在哪个轴上。

   （2）c>a、c>b，a和b大小关系不确定。

[下面，我们来看两道例题：]

例1：已知两点F （-5，0）、 F （5，0），

      

              

 

 

 

              

        y

              

              M 

                  x

 F     0        F                   

                         

                      

                   

        y            

      F

        

     0     x

   M         

      F

 

         

            

         

注意：由于坐标系的选择不同，双曲线的方程的形式也不同，只有双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才是标准方程。[找学生比较双曲线的标准方程与椭圆的标准方程的异同点，老师总结。

相同点：〈1〉方程等号一端为1，

〈2〉两个平方项的分母也是a 、b 。

不同点：〈1〉椭圆两项都为正，双曲线一正一负。

〈2〉椭圆中a =b +c

 双曲线中c =a + b ]

问题：（1）如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？

（2）c、a、b三个量大小关系如何？

答：（1）判断标准：哪项正，焦点在哪个轴上。

   （2）c>a、c>b，a和b大小关系不确定。

[下面，请同学们看两道例题：]

例1：已知两点F （-5，0）、F （5，0），求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程。

解；按定义，所求点的轨迹是双曲线，

         c=5，a=3

  b =c -a =5 -3 =16

  所求方程为 。

例2：已知双曲线的焦距为2 ，且过点（ ， ），

   求它的标准方程。

解：若双曲线的焦点在x轴上，设其方程为

（a>0 ，b>0）            （1）

把（ ， ）代入（1），得  （2）

  

又 c =a +b    a +b =6  （3）

由（2）、（3）解得a =2或9

c >a  a =2     ， b =4

           标准方程为

。

；

（1）       a=2 ，且经过点A（2，- ），焦点在y轴上。

思考题：已知动圆与圆C ：（x+5） +y =49与圆C ：

 

 

 

  若焦点在y轴上，设其方程为： （a>0 ，b>0），可得标准方程为 。

[下面，同学们拿出练习本做几道题。]

三、巩固练习：

  求适合下列条件的双曲线的标准方程：

（1）焦点的坐标是（-3，0），（3，0），并且经过点A（-5，2）；

（2）a=2 ，且经过点A（2，- ），焦点在y轴上。

思考题：已知动圆与圆C ：（x+5） +y =49与圆C ：

（x-5） +y =1都外切，求动圆的圆心轨迹方程。

[此题找学生回答，老师归纳总结，加以说明，进一步加深理解定义。]

说明：〈1〉注意定义中的“绝对值”不能少；否则，轨迹为双曲线的一支。

〈2〉注意条件中的 “小于 ”若改成“等  于 ”，轨迹为分别以F 、F 为端点的两条射线 ；若改成“大于 ”，轨迹不存在。

四、小节：

本节课主要介绍了双曲线的定义及标准方程，由定义可推出性质：双曲线上的点与两个焦点的距离的差的绝对值是2a或-2a；根据标准方程的特征，哪项正，双曲线的焦点就在哪个轴上。

五、作业  ：书P-91-1

 

板书设计：                                                                                                                                                          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

一、定义：

双曲线及其标

二．标准方程：

准方程

例1：

 

例2：                                     

 

讲后语：