2.设问:

  问题1: 定点F₁、F₂与动点M不在平面上,能否得到双曲线?

    请学生答,不能.强调“在平面内”.                        

  问题2: ｜MF₁｜、｜MF₂｜哪个大？

    请学生答,不一定.

当点M在双曲线右支上时,｜MF₁｜＞｜MF₂｜；                                          

当点M在双曲线左支上时,｜MF₁｜＜｜MF₂｜.

  问题3: 点M与定点F₁、F₂的距离的差是否就是

         ｜MF₁｜-｜MF₂｜?

请学生答,不一定.也可以是｜MF₂｜-｜MF₁｜.

正确表示为 .

  问题4: 这个常数是否会大于｜F₁F₂｜?

请学生答.应小于｜F₁F₂｜大于零.

当常数=｜F₁F₂｜时, 轨迹是分别以点F₁、F₂为端点，方向指向F₁F₂外侧

的两条射线；

当常数＞｜F₁F₂｜时,无轨迹.

3.双曲线的定义:

  在上述基础上,引导学生概括双曲线的定义:

平面内与两个定点F₁、F₂的距离的差的绝对值是常数2a

(a＞0且小于｜F₁F₂｜)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的

焦点，这两个焦点间的距离叫做焦距，记作2c(c＞0).

定义分析：

①．关键词语：两个定点、距离的差的绝对值、常数               教师备注                          

②．常数

(1)当0＜a＜c时，动点M的轨迹是双曲线.

(2)当a=c时，分析  若a=c，也就是｜｜MF₁｜-｜MF₂｜｜=2a=2c

可以得出，动点M的轨迹是分别以点F₁、F₂为端点，方向指向

F₁F₂外侧的两条射线.

(3)当a＞c＞0时，动点M的轨迹不存在.这是因为a、c的关系

违背了三角形中两边之差小于第三边的性质.

③．差的绝对值

即：点（两定一动）距离（三个）

量（两个常数）关系式（一个等式一个不等式）

双曲线标准方程的推导：

我们可以参照求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程.首先建立直角坐标

系，即以两定点连线为x轴，两定点的垂直平分线为y轴.然后，观察双曲线

的特征，猜测双曲线方程的结构与椭圆方程的结构是否有类似之处?

①.建立直角坐标系.            

②.设双曲线上任意一点的坐标为M(x、y),                        

｜F₁F₂｜=2c，并设F₁(-c,0),F₂(c,0).

③.由两点间距离公式，得                                        

｜MF₁｜= ,｜MF₂｜=

④．由双曲线定义，得

｜MF₁｜-｜MF₂｜=±2a,即 - =±2a.

⑤.化简方程

=±2a+ ,两边平方，得

(x+c)²+y²=4a²±4a +(x-c)²+y²，

化简得：cx-a²=±a ,

两边再平方，整理得(c²-a²)x²-a²y²=a² (c²-a²).

(为使方程简化，更为对称和谐起见.)                                教师备注

由2c-2a＞0，即c＞a，所以c²-a²＞0.设c²-a²=b² (b＞0)，代入上式，得

b²x²-a²y²=a²b²，也就是

x²/a²-y²/b²=1.     (1)    此方程叫双曲线的标准方程.（焦点在x轴上）

从图形的对称来看，只要交换一下x轴、y轴的名称，然后逆时针翻转90°

使之y轴向上、下，x轴水平放置即可得到焦点在y轴上的双曲线.

从方程上来分析，只要将方程(1)的x、y互换就可以得到它的方程

y²/a²-x²/b²=1          此方程也是双曲线的标准方程.（焦点在y轴上）

说明：1.双曲线的方程右边为1，左边是两个完全平方项，符号一正一负，

为正的项焦点在该轴上，且分母a².负项相应的分母为b².

      2．在双曲线中，c² =b²+a²

  3. 双曲线标准方程中,a＞0,b＞0,但a不一定大于b.

4.例题分析：

例1            已知两点F₁ (-5,0)和F₂ (5,0)，求与它们的距离之差的绝对值为

6的点的轨迹方程.

解：按定义，所求点的轨迹是双曲线，因c=5,a=3，

所以b²=c²-a²=25-9=16.

所以，所求的双曲线方程为

x²/9-y²/16=1.

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