教学目标

1、  初步掌握一些特殊数列求其前n项和的常用方法。

2、  通过把某些既非等差又非等比的数列化归为等差或等比数列求和问题，培养学生观察、分析问题的能力，以及转化的数学。

教学重点与难点

〈重点〉把某些既非等差又非等比的数列化归为等差或等比数列求和，掌握两种主要的方法即裂项相消法、错位相减法。

〈难点〉通过观察寻求适当的变换方法，达到化归的目的。

教学方法

启发式、讨论式、讲练结合式

教学过程设计

 〈复习引入〉         

 1、〈教师〉等差和比数列求和公式是什么？

（1）〈学生〉等差数列求和公式：Sn=          

（2）    （2）〈学生〉等比数列求和公式：Sn=             （q≠1）

（3）   

2、〈教师〉学习新知识不仅要记住结论，正确的解决问题，还要善于在学习过程中体会研究问题的方法，学会思考， 

（4）               学会学习。回忆一下这两个公式的推导过程，体会一下研究问题的方法。                                      

 〈学生〉导      〈学生〉求等差数列前项和的方法是：先把Sn中各项正着写出来，再把Sn次序反过来写出来，两式相加。由于两式的对应项和都为（a₁+a₂），所以2Sn=n（a₁+a₂），进而求出Sn 。

              3、〈教师〉推导等比数列前项和的方法是什么？

〈学生〉方法是：将Sn的各项依次写出，再把这个式子的两边同时乘以q，然后两式“错位相减”，相减后等号右边只剩下两项，进而求得Sn。

〈教师〉解决此问题需要同学们有敏锐的观察能力。把Sn=a₁+a₁q+a₁q²++a₁q^n-1+a₁qⁿ的两边分别乘以公比q, 就得到各项后面相邻的一项，因而用“错位相减法”就可以消去相同的项。

            以上两种求和的思路在解决某些特殊数列求和问题时经常用到。这节课我们就来研究非等差又非等比的数列的一些特殊数列的求和问题。（板书课题）            

〈新课〉

例1、       求数列1，3a,5a²,7a³,……的前n项和(a≠1)。

〈学生〉经观察此数列的每一项的系数成等差，而字母部分成等比。                                       〈教师〉（启发）不妨看成一个“等比数列”，且其公比为a。又其系数成等差，联想到等差数列的定义——差值                            

为定值，想用减法，那末怎样使用减法呢？

〈学生〉（积极讨论）乘上公比再相减。

〈教师〉（启发）怎样相减？

〈学生〉（积极讨论）应同指数幂相减，即错位相减。

（学生叙述解法，教师板书）

解：设Sn=1+3a+5a²+7a³+……+(2n-1)a^n-1 (a≠1)

则a Sn=a+3a²+5a³+7a⁴+……+(2n-3)a^n-1+(2n-1)aⁿ

(1-a) Sn=1+2a+2a²+2a³+……+2a^n-1-(2n-1)aⁿ=1+2(a+a²+a³+a⁴+……+a^n-1)-(2n-1)aⁿ

=1+              -(2n-1)aⁿ

Sn=

     〈教师〉（启发）让我们回顾一下，使用此法后式子中只留下第一项和最后一项，其它各项构成等比数列，把未

知问题转化为已知的等比数列求和问题。由解题过程可见，此法可解决哪类数列求和问题 ？

     〈学生〉错位相减法可解决差比数列问题。

  练习：求数列{（2n-1）×0.5ⁿ} 的前n项和S  (通过此题的练习,学生进一步体会此法妙处)

结果:

 下面看另一类型的数列求和：

例2：求数列                                   的前n项和。

<教师>这是一通项是分数形式的数列,分母是两个相邻自然数的积,且相邻两项的分母中有相同因数。那么怎样消去相同成分,达到求和的目的呢?

<学生>要达到消去目的,必须出现差的形式。观察可得数列第一项可写成           ,同理第二项可写成

以次类推,第n项可写成                   ,求和后可达到消去某些部分的目的。

(学生叙述,教师板书)

解:Sn

(下面请同学总结这种解题方法)

<学生>这种解题方法是把每一项分裂成两个分数之差,这些分数之和除首末两项外,其余各项前后抵消。

<教师>我们把这种方法叫做裂项相消法。这种方法,在解决通项是分形式的数列求和问题经常用到。

(下面做一道练习题)

练习:求Sn=

(学生板书)

原式

<布置作业>

求下列数列的和

1、        1，2q,3q²,4q³,…,nq^n-1…

2、                        …

3 、                 

〈答案〉1、当q≠1时和为                ;当q=1时和为      

2、和为                    3、和为

〈课堂教学设计说明〉

    在教学过程中，教师对学生进行必要的学法指导，使学生由“学会”到“会学”是课堂教学中实施素质教育的重要手段。在复习旧知识的过程中，注重复习研究问题的方法，由此引入新知识，让学生体会到怎样学习。每讲完一道例题，教师都引导学生进行总结，引导学生把结论推广到一般情况，进行例题后的回顾与反思，让学生体验到如何加强知识之间的联系，使知识不断升华。利用课堂小结将学生零散的知识系统化，并纳入到自己的认知结构中，与此同时，也培养了学生养成善于总结的良好学习习惯。

    总之，课堂教学中不失时机地对学生进行必要的学习方法的指导，让学生学习“怎样思考”、“怎样学习”其意义远比学会知识本身深远的多。