教

学

目

标

1、使学生掌握锥体的体积公式的推导方法（割补法）及其初步应用；

2、通过推导三棱锥体积公式，引导学生在分析问题的过程中，如何使用手中已有的知识和工具去解决所面临的问题，利用观察、猜想、等合理推理方法，培养学生空间思维和想象能力及分析、综合、抽象、概括等逻辑推理能力，把感性认识提高到理性认识；

3、在推导三棱锥体积公式中，培养学生勤动手、勤动脑、不断尝试、开拓进取、追求真理的精神面貌和良好品质。

教学重点及难点

三棱锥体积公式的推导过程。

教学方法

启发式教学

教学手段

多媒体教学

课型

新授课

教

学

设

计

过

程：

师：  在进入新课之前，先请同学们回顾几个问题：

第一个问题是祖暅原理的内容；（请同学们看课件、回忆、回答）

生：  夹在两平行平面间的两几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，若截面面积总相等，则这两个几何体的体积也相等。

师：   好，第二个问题：柱体体积公式；

生：  柱体的体积等于底面积乘以高。

师：  回答的很好，第三个问题是：在锥体中平行于底面的截面的性质是什么？

生：  锥体被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似且其面积比等于截得的锥体的高和原锥体高的平方比。

师：  回答的完全正确，请同学一同回顾一下，我们在证明柱体体积公式时，我们用到的方法是什么？

生： （同学们可能七嘴八舌，但是基本的意思教师要认真听，然后和同学们一起用缓慢的速度归纳总结，调动全班的学习热情）

师：  同学们的意思我已经听清了，大家和老师一起总结一下：把一个柱体和一个等底面积、等高的长方体放在同一个平面上，这样我们可以把它们看作夹在两个平行平面间的几何体，满足祖暅原理，所以  V_长方体=sh=V_柱体

      好，我们猜测一下等底面积等高的两个锥体的体积之间有什么关系

生： （可能随口就说）相等。

师：  为什么呢？

生：  猜测的（有的已经开始思考为什么了）

师：  首先，同学们的想法是好的，我们要有勇气去猜测，其次大家的想法目前仅仅是一个猜想，究竟对与否还是要求有足够的理由，我们从事一切工作都要做到这一点。

教

学

设

计

过

程

生：  祖暅原理。

师：  大家已经找到了问题的突破口，下面我们一起看课件。

     （从课件中引导学生找出解决问题的方法）

     当我们把等面积等高的一个三棱锥和一个圆锥放在同一个平面α上，

用一个平行平面β去截这两个锥体，设截面面积分别是s₁、s₂，截面和顶点的距离是 h₁，体积分别是V₁，V₂，则由锥体平行于底面的截面性质可知：

生：  故s₁=s_2。

师： （总结）所以，由祖暅原理V1=V2。

下面请同学把上面的问题用准确的数学语言叙述一下。

生：  等底面积等高的两个锥体的体积相等。

师：  很好，这就是我们书上的定理，书上105页。

      同学们要注意，这个定理的条件和结论，下面找一位同学重申下这

两点。（帮助同学记忆）

生：  条件是：等底面积、等高的两个锥体，结论是：体积相等。

      （以上的内容要充分体现教师的主导地位，学生的主体地位，发挥学生的主观能动性，按照提出问题、分析问题、解决问题的辩证思维方法，培养学生的解题能力。合理的猜想、恰当的推理、严格的证明是一个完整的思维体系，在授课过程中要做到教学与培养能力的完整与统一）

师：  好，同学们请注意我们今天的课题----《锥体的体积》，而且，我们复习了柱体体积公式的求法，再加上上面的结论，我们是否可以把求任意锥体的体积进行简化？

生：  我们可以通过求三棱锥的体积来求任意的锥体体积。（可能有一部分同学小声地说）

师：  我听到有同学说可以先求三棱锥的体积，为什么呢。说错了没关系，请大胆说出你的想法。

生：  因为上面的定理成立，而三棱锥最简单，而且我们也比较熟悉。

师：  有道理，因为等底面积等高的锥体体积相等，我们可以从三棱锥。那么，怎么样求三棱锥的体积呢？

生：  （这时，同学们一定都默不作声）

师：  （也同学生一起沉默，同时打开课件和同学们一起看屏幕上面出现的三棱锥）

        我们不妨先回顾一下，我们求三角形面积的方法。（打开课件的下一页，屏幕出现一个三角形。）

生：   先求平行四边形面积，它的一半就是三角形的面积。

师：   很好，我们一同看屏幕。（利用课件进行演示割补法）

       这里我们采用了先补后割的方法，数学上称之为割补法。（割补法也包括先补后割）我们能否将这一方法迁移到我们要求的问题上来呢？

生：  （几乎都能想到补的方法，异口同声：）能！

师：   补成什么几何体好呢？

教

学

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计

过

程

生：  三棱柱！

师：  好，怎么补？（课件回到三棱锥的屏幕）

生：  以三棱锥A’-ABC的底面ABC为底面，AA’为侧棱补成一个三棱柱ABC-A’B’C’。

师：  同学们的想法很好，老师按同学们的想法把这个三棱锥补成三棱柱

（利用课件完成这一过程，十分形象和生动）

这时，这个三棱柱的体积我们可以根据公式求得。

完成这一过程后，我们下一步的任务应该是--------（可以拉一下长音）

生：  分割。

师：  如何分割？（可以听一下同学讨论的声音，缓冲一下，在屏幕上提示出连线B’C后，同学们讨论的声音可能变得更大、更肯定一些）

师：  我已经听清楚同学们讨论后的结果了，请大家看屏幕。（这时课件可以清楚地显示出整个的变化过程，动画效果直观生动，使学生可以十分清晰地理解全过程，这样就避免了以往黑板上画图的生硬、死板的弊端，使课堂教学更有生命力。）

      现在，请同学们考虑一下，分割后的三个棱锥体积之间有何关系？

生： （小声猜测）相等。

师：  有同学说相等，猜测要有依据。

生：  由平行四边形分割后所得的三角形面积相等 ，那由棱柱分割后所得的三角形面积也应该相等。

师：  同学们的思维由平面延伸到空间，这很好。下面我们来考虑一下如何证明同学们的结论，即V₁=V₂=V₃.(略微停顿一下，接着说)我们可以考虑一下刚才讲过的定理，同学们分小组讨论。

生： （部分同学已经有思路了，开始热烈地讨论）

师：  请第一小组选一名代表说一下你们的答案。

生：  在棱锥1与2中，S_△ABC=S_△B’A’B,又由于它们有相同顶点C,故高也相等，所以V₁=V₂.又在三棱锥2与3中，S_△BCB’=S_{△B’C’C，}它们有相同的顶点A’，故V₂=V_3，所以我们得出结论V₁=V₂=V_3。

     （可能有同学会补充，可以先证明V1=V2之后，再证明V1=V3.如果学生没有补充的，可以提示后再找学生补充）

师：  （可以再找一个同学用缓慢的速度说一遍，教师进行恰当的板书）

       好，我们得到的结论是V_三棱锥= Sh.到目前为止，我们已经解决了三棱锥的问题，那么一般锥体的体积是什么？

生：  相同。

师：  谁能解释一下？

生：  由上面的定理可知，构造一个三棱锥与我们要求的锥体等底、等高，则它们的体积相等，由上面的公式可知：V_锥体=V_三棱锥= Sh。

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过

程

      （在课堂上要让同学多想、多说、多尝试，让学生充分发挥自身空间想象能力、锻炼逻辑思维能力、提高语言表达能力、数学交流能力，培养学生的数学素养）

师：  好，那么圆锥作为一种特殊的锥体，它的体积公式还可以如何表达？

生：（很轻松就可以回答） V_圆锥= r²h.

师：其中， r表示-----

生：圆锥底面半径。

师：h 表示------

生：圆锥的高。(加深学生对圆锥体积公式的理解)

师：  综合以上的内容，我们通过复习祖暅原理等知识，学习了一个新的锥体体积的定理，在此基础上研究了三棱锥的体积公式，进而得出锥体的体积公式，特别是圆锥的体积公式。下面我们要用上面的知识作两道例题。（展示课件中的例1）

（例1       已知：三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD，侧面ABC与底面所成的角为

求证：V_三棱锥= S△ABC••ADcos ）

师：  在这道题中，我们想利用锥体体积公式，目前已知和待求的分别是什么条件？

生：  我们需要知道锥体的底面积和高，高就是AD，所以求出底面积即可。

师：  我们要求底面积，那已知条件中的“侧面ABC与底面所成的角为 ”有何作用？

生： 可以通过这个条件求出底面积。

师：  如何利用？（如学生没有反映，可以进一步提示在二面角中，已知一个面内一点到另一个面的垂线段，做二面角平面角的方法，从而引出射影定理）

生：  射影定理。

师：  可以具体一些吗？

生：  在平面BCD内，作DE BC，垂足为E，连结AE，DE就是AE在平面BCD上的射影，根据三垂线定理，AE BC.

∴∠AED= .

V_三棱锥= S△BCD•AD

= ╳ BC•ED•AD

= ╳  BC•AE cos •AD

     = S△ABC••ADcos

师： （根据这位同学解题思路进行课件演示，可再找一位同学说明，将解题过程进行板书）

      本题主要的解题材思路就是根据已知条件“侧面ABC与底面所成的角为 ”，利用射影定理找到突破口，进而解决我们未知的底面积问题，利用锥体体积公式最后证出了欲证的结论。（通过本题可以锻炼同学们的新、旧知识的综合利用能力，同时复习了一个重要的定理-----射影定理）

      下面请同学继续看下一道题：

（例2       一块正方形薄铁板的边长是22cm，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形。用这块扇形铁板围成一个圆锥筒，求它的容积（保留两位有效数字）。）

        请同学们看屏幕：

（课件演示扇形卷成圆锥筒的全过程，十分形象生动）

师：  大家观察屏幕中由扇形卷成的圆锥底面积与高可以由原来的扇形的哪些已知量求得？

       （由于整个动画过程十分清晰地演示了全过程，同学们很容易得出结论）

生：   扇形的弧长是圆锥筒的周长，我们可以求出圆锥筒的半径，因此得到圆锥筒的底面积；而圆锥筒的母线长就是扇形的半径，我们又可以通过圆锥筒的母线长和半径求出它的高，再利用公式可以求得圆锥筒的体积。

师：  完全正确， 下面请一个同学把解题过程写到黑板上。

      （其它同学可以在下面做一下）

（师生进行共同评判，察漏补缺，找出细节方面的小错误，引起全体同学的重视。

课堂小结：

师：  这节课我们主要学习了锥体体积公式的推导方法及其结论和它的简单应用，下面请同学就知识和能力方面谈谈自己的感受和体会。

      （学生可能概括的不准或不完全，师生可以共同补充完善）

生：  我们学习了利用割补法求三棱锥的体积公式，进而推出了一般的锥体体积公式，并且掌握了公式的应用。通过本节课的学习我们学会了如何根据以往的知识和经验去有方向地猜测新结论，并且如何进行逻辑推理和严格的证明。培养了我们不断尝试、开拓进取、勇于创新、追求真理的精神。

课堂练习：

107页 1、2题。       

课后作业：

108页 1、3题。

板书设计：

（1）      

课

堂

设

计

说

明：

2、  教学目标：在教的同时重视能力的培养，推进素质教育的教学手段和方法，教学目标要注意多角度、全面性。

（1）       明确教学重点锥体体积公式的推导方法及如何应用。

（2）       结合学生的思维特点和推理能力与本节课的知识重点，用与学生最接近的、最合乎情理的、最容易接受的诱导方法和方向，引导学生猜出结论;适当的知识回顾、典型的实例、进行严格的证明。培养学生的逻辑思维和空间想象等数学能力。

（3）       知识能力型人才顺应时代的需要，学生要在学习生活中锻炼自己的坚强不屈、激流勇进的意志和良好品格。

3、  教学重点和难点：用割补法寻求解题思路，是一种创新思维，用适当的方法引导学生发挥潜力，进行全新的尝试去分析和解决问题是全盘的关键。

4、  教学过程设计：

（1）       回顾旧知识是获取新知识的基础，因此首先要做好上面三方面的复习工作。

（2）       为了做到从简单数学模型入手，在证明锥体体积公式之前，首先要合理地引入预备定理-----“等底面积、等高的两个锥体体积相等”，充分发挥学生的主观能动性，如何从复习中引导学生捕捉到解决问题的关键性思维是教师在课堂教学中主导地位的体现。

（3）       从平面图形割补思维到空间立体割补思维的转变，是教师灵活巧妙的教学艺术的体现，也是培养学生创造性思维、自觉地发掘知识的大好时机。再进一步，补成的棱柱体积与分割后的三棱锥体积之间的关系是发挥学生空间想象力的一个良好途径，掌握新知识的同时，合理地运用新知识，可以锻炼学生综合知识、归纳总结的能力。

（4）       由三棱锥体积公式到锥体体积公式，是一种从特殊到一般的规律，从这里，可以教育学生用辩证唯物主义的眼光看待事物。

（5）       锥体体积的初步应用可以提高学生综合运用知识能力，教育学生在实践中获取知识，反过来知识最终还要应用于实际当中去。

     总之，在课堂教学中要全面推行素质教育，克服传统教学的弊端，发挥素质教育的优势，做到既教书又育人，既要传授知识又要培养能力，在教学方法上，要贯穿启发式教学；在教学手段上要求不断创新，发挥多媒体教学的优势，营造完美的教学氛围。