教学目的：1.掌握圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式；

          2.掌握圆锥侧面展开图的扇形圆心角公式；

          3.掌握三个公式间的关系；

          4.使学生学会应用从立体到平面的降维思想及切补思想来解决问题；

          5.培养学生在立几中用函数思想解决最值问题。

教学重点：1. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式；

          2. 圆锥侧面展开图的扇形圆心角公式。

教学难点：公式的推导过程。

电教手段：计算机

教学过程：    前面我们学习了多面体的侧面积，这节课我们来学习旋转体圆柱、圆锥、圆台的侧面积。

              把圆柱、圆锥、圆台的侧面沿着它们的一条母线展在平面上，展开图的面积就是它们的侧积。

(把侧面剪开展在平面上是一种把立体问题转化为平面问题的降维思想，重点强调这种思想，以便

r

c

l

今后应用降维思想去解决问题。)

             （以计算机演示图形）

              圆柱的侧面展开图是一个矩形。

l

定理 如果圆柱底面半径是r,侧面母线长是 l,那么它的侧面积是

r

l

c

圆锥的侧面展开图是一个扇形.

定理 如果圆锥底面半径是r,周长是c,侧面母线长是 l,那么它的侧面积是

r

r`

x

c`

c

l

圆台的侧面展开图是扇环.

求扇环面积，把圆台补成圆锥，再把圆锥侧面展开，则S_扇环=S_大扇形-S_小扇形

S_圆台侧=S_扇环=1/2c(l+x)-1/2c`x=1/2〔cl+(c-c`)x〕---(1)

∵ c`/c=x/(x+l)

∴ x=c`l/(c-c`)代入（1），得

S_圆台侧=1/2〔cl+(c-c`)x〕=1/2(c+c`)l=π(r+r`)l

定理 如果圆台的上、下底面半径分别是r和r`,周长是c和c`, 侧面母线长是 l, 那么它的侧面积是

              圆柱、圆锥、圆台的全面积，分别等于它们的侧面积与底面积的和。

例题 已知一个圆锥的底面半径为R,高为H,在其中有一个高为 x的内接圆柱.

S

A

B

H

x

r

R

(1)求圆柱的侧面积；

(2)x为何值时, 圆柱的侧面积最大?

解：（1）画圆锥及内接圆柱的轴截面。

（用轴截面解题也种降维思想）

设所求的圆柱的底面半径为r，它的侧面积

S_圆柱侧=2πrx.

∵ r/R=(H-x)/H,  (△相似)

∴ r=R-Rx/H

∴ S_圆柱侧=2πRx- 2πRx²/H

(2)因为S_圆柱侧的表示式中x²的系数小于零，所以这个二次函数有最大值。这时圆柱的高是

x=-〔2πR/(-4πR/H)〕=H/2

当圆柱的高是已知圆柱的高的一半时，它的侧面积最大。

              例题 圆锥底面半径是r,周长是c,侧面母线长是 l,它的侧面展开图扇形圆心角为θ⁰.

求证: θ=360r/l

证明：因为扇形弧长等于圆锥底面的周长，即

πlθ/180= 2πr，

所以 θ=360r/l。

圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图

S圆台侧=1/2(c+c`)l

c`=c

c`=0

S圆柱侧=cl

S圆锥侧=1/2cl

   

练习1 一个直角梯形的上、下底和高的比是1：2：3，求它旋转而成的圆台的上底面积、下底面积和侧面积的比。

               2．把圆柱、圆锥、圆台的侧面积用中截面周长及母线长表示出来。

          作业 1.圆锥的轴截面是正三角形.求证:它的侧面积是底面积的2倍.

               2.已知圆台的上、下底面半径是r、r`，它的侧面积等于两底面面积的和。求圆台的母线长。

               3.设圆台的上、下底面半径分别是r`、r，母线长是l。圆台侧面展开后所得的扇环的圆心角是θ。

                 求证： θ=（r-r`）360/l  (度)。

          小结:本节重点掌握三个公式及降维和函数思想的应用.

定理

公式推 导

例题

例题

板书设计

教学后记  注意解题思想的渗透和强化.