课题章节

           §3.2 等差数列

教学目的

使学生理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式并能用公式解决一些简单问题

教学重点

等差数列的概念及通项公式

教学难点

讲清等差数列“等差”的特点及通项公式的含义

教学内容及过程：

一、导言：

上节课我们学习了数列的一些相关概念，本节课将共同研究一种特殊的数列——等差数列。

二、复习提问：

1、  数列的概念

2、  写出下列数列{a_n}的前5项

1）a₁=1,a_n+1=a_n+3

2）a₁=1,a₂=2,a_n+2=a_n+1+2

3）a₁=1,a_n+1=2a_n

三、讲授新课：

观察数列1）不难发现它的特点：从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数3。

我们就称数列1）为等差数列。

1、定义：如果一个数列，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母d表示。

注意：1）必须是从第二项起。

      2）d=a_n-a_n-1=a_n+1-a_n ≠a_n-a_n+1

      3）差相同。

知道了定义再来判断一下下面两个数列是否也是等差数列。

1）1，3，5，7，11

2）b，a，2a，3a，4a，…

上节课我们接触到了一些特殊数列的通项公式，那么对于等差数列来说是否也存在通项公式呢？带着这样的问题我们进行下面的学习。

2、通项公式：

等差数列{a_n}，首项a₁，公差d，则由定义知

方法一：

a₂=a₁+d

a₃=a₂+d=(a₁+d)+d=a₁+2d

a₄=a₃+d=(a₁+2d)+d=a₁+3d

    这样，数列{a_n}的各项就表示成了首次a₁与公差d的倍数的形成。目前，首要问题就是观察出公差d的系数与所求项项数的关系。

    于是   a_n=a₁+(n-1)d

方法二     a_n-a_n-1=d

a_n-1-a_n-2=d

……

 +) a₂-a₁=d

——————

a_n-a₁=(n-1)d

找同学上黑板完成，其他同学做在练习本上。

让同学观察得出结论。

找同学回答并说明原因。

注意：2）中讨论的思想。

找同学归纳出通项公式。

同学生讲明此法为不完全归纳，以后还需证明。并使学生掌握分析、归纳、猜想的方法。

易知n=1时也适合，于是等差数列{a_n}通项公式为

        a_n=a₁+(n-1)d         (公式1)

导出了通项公式，请同学们再思考一个问题：如何用等差数列{a_n}第k

项和公差d表示它的通项公式？

由通项公式a_n=a₁+(n-1)d知

a_k=a₁+(k-1)d  (1)

a_n=a₁+(n-1)d  (2)

(2)-(1)得   a_n-a_k=(n-k)d

于是              a_n=a_k+(n-k)d       （公式2）

例1、（1）求等差数列8，5，2，……的第20项。

   （2）-401是不是等差数列-5，-9，-13……？如果是，是第几项？

分析：（1）欲求第20项，即已知n=20由通项公式，还需知道a₁,d所以先求a₁,d。

（2）可以看作与（1）相反的问题。

解：（1）由a₁=8,d=5-8=-3,n=20得

         a₂₀=9+(20-1)×(-3)=-49

(2)由a₁=-5,d=-9-(-5)=-4，得到这个数列的通项公式为

a_n=-5-4(n-1)

由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使

-401=-5-4(n-1)

成立解这个关于n的方程，得n=100,即-401是这个数列的第100项。

例2，在等差数列{an}中，已知a₅=10,a₁₂=31,求a₁与d 。

解：由题意可知

a₁+4d=10

a₁+11d=31

这是一个以a₁和d 为未知数的二元一次方程组，解这个方程组得

a₁=-2,d=3。

例3梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各

级的宽度成等差数列。计算各级的宽度。

分析：要求梯子中间各级的宽度，必须知道各级宽度组成的等差数列的公差。因此问题相当于已知等差数列首、末两项及项数（注意梯子的级数是10+2）求公差d。

解：用{a_n}表示梯子自上而下各级的宽度所成的等差数列，由已知条件，有

       a₁=33，a₁₂=110，n=12    由通项公式，得

           a₁₂=a₁+(12-1)d

即

           110=33+11d

    解得 d=7

    因此，a₂=33+7=40，a₃=40+7=47，a₄=54，a₅=61，a₆=68，a₇=75，a₈=82，a₉=89，a₁₀=96，a₁₁=103

    答：梯子中间各级的宽度从上而下依次是40cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm。

找同学说一下自己的思路。

易知公式1）是公式2）的特例。

此题还可直接利用公式2）求出d再求a₁。

   3、等差中项：

    如果a、b、c成等差数列，那么b叫做a与c的等差中项。

于是有：a、b、c成等差数列Ûb-a=c-bÛ a-b=b-c Û2b=a+c Ûb=

Û b是a与c的等差中项。

容易看出，在一个等差数列中，从第二项起，每一项（有穷数列末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。

例4  已知数列的通项公式为a_n=pn+q，其中p、q是常数，且p≠0，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？

分析：由等差数列的定义，要判断{a_n}是不是等差数列，只要看a_n-a_n-1

(n≥2)是不是一个与无关的常数即可。

解：取数列{a_n}中任意相邻两项a_n与a_n-1(n≥2)

     a_n-a_n-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]

          =pn+q-(pn-p+q)

          =p

它是一个与n无关的常数，所以{a_n}是等差数列，且公差是p 。

在通项公式中令n=1，得  a₁=p+q

所以这个等差数列的首项是p+q，公差是p。      y        

    4、与函数的关系：                          4·    

非常数数列的等差数列的通项公式是关于项数   3·

n的一次函数，反之也成立。                     2 · 

例如：首项是1，公差是2的无穷等差数列的   1 ·

通项公式为a_n=2n-1相应的图象是直线y=2x-1  0 ·  ·  ·  ·  ·  ·

上均匀排开的无穷多个孤立点，如图。               1  2  3  4  5    x

练习：已知{a_n}，{b_n}是项数相同的两个等差数列，那么{pa_n+qb_n}（其中p、q是常数）是不是等差数列？

练习：P117，1、2、3、4

作业：（习题3.2）4

等差数列可以看成定义域为整数集的函数。