课题：(板书)     圆的一般方程（第一课时）       授课教师：闫英武

课型：               新知课

教学目的：         1巩固曲线和方程的概念，强化充要条件的理解

                  2掌握圆的一般方程的概念，形成圆的解题方法和技能

3培养和发展学生的数学思维

教学重点：           形成圆的解题方法和技能

教学难点：           强化充要条件的理解

教学方法：           引导启发法、比较概括法

教具：                  投影仪、三角板、圆规、彩粉笔

组织教学过程：

一复习提问，导入新课：

师：1什么是充分条件、必要条件、充要条件？

生1：一般地，如果A成立，那么B成立，即A B，这时我们就说条件A是B成立的充分条件。也就是说，为使B成立，具备条件A就足够了。

生2：一般地，如果B成立，那么A成立，即B A，或者，如果A不成立，那么B就不成立，这时我们就说条件A是B成立的必要条件。也就是说，要使B成立，就必须A成立。

生3：如果既有A B，又有B A，那么A既是B成立的充分条件，又是B成立的必要条件。这时，我们就说A是B成立的充分而且必要的条件，简称充要条件。

师：2圆心在原点，半径为r的圆的方程是什么？

生4：         生5：

师：3圆的标准方程是什么？

生6 ：        生7：

二讲授新课：

师：下面请同学们将圆的标准方程    (板书)    

展开，按照 的降幂形式重新进行整理，看一看得什么？

生8：       同时，师：（板书）

师：如果我们设（板书）    ，可见，任何一个圆的标准方程都可以改写成下面的形式：（板书）            （1）

师：反过来，请同学们思考一下形如（1）的方程是否一定表示（曲线）圆？

师：也就是说，对任意的形如（1）的方程，即其中 为任意一组给定实数，如果我们设       ，就会得到关于 一个方程组，

（板书）              这个方程组一定有解吗？

师：请同学们将方程（1）的左边配方，看一看得什么？

生9：          （2）同时，师：（板书）

师：请同学们比较方程（2）和圆的标准方程有那些区别和联系？

生10：区别：右边一个是完全平方式，一个是分式；联系：左边都是完全平方式的和。

师：下面请同学们回答形如（1）的方程是否一定表示（曲线）圆？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

注意1:

为突破教学难点，教师在此必须强调  。

 

 

 

 

 

 

 

注意2：

停顿一小会儿！让学生动脑去思考！

 

 

 

 

 

 

 

 

 

生11：1．当 时，形如（1）的方程一定表示（曲线）圆，圆心为

，半径为 ；

生12：2．当 时，形如（1）的方程表示一个点 ；

生13：3．当 时，形如（1）的方程不表示任何平面曲线。

同时，师：（板书）1、2、3及下面的定义。

定义：当 时，形如（1）的方程一定表示圆，我们就称方程（1）这种形式

           的圆的方程为 圆的一般方程。

师：请同学们比较圆的标准方程和圆的一般方程，圆的标准方程有哪些优点？圆的一般方程

       在方程形式上有哪些特点？

生14：圆的标准方程优点在于明确地指出了圆心和半径；

生15：圆的一般方程在方程形式上的特点：

       （1） 项的系数相同，且不等于零；     （2）没有 这样的二次项。

师：请同学们比较圆的标准方程中的 和圆的一般方程 有那些联系？

生16： 。

三例题精编与创新

例1：（1）关于 的二元二次方程        *

       表示圆的充要条件是（           ）。

创新       （2）DE>2F是方程 * 表示圆的（      ）条件。

创新       （3）再给出方程 * 表示圆的一个充分条件是（    ）。

生17：     

生18：∵ ∴应填：充分条件。

生19： 。     生20： 。

师：（小结1）此例说明充分条件是不唯一的，事实上，必要条件、充要条件也是不唯一的，

       关于这一点同学们会在下面的练习题中和今后的学习中进一步体会到。

例2：求过三点 的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标。

解：设所求圆的一般方程为      

因为       在圆上，所以它们的坐标是方程的解。把它们的坐标依次代入上面的方程，得关于 的三元一次方程组：           解这个方程组，

得 。于是得到所求圆的一般方程为   。

       由前面讨论可知，圆的半径 ，圆心坐标是 。

师：此例可以设圆的标准方程来做吗？请同学们试一试！生：（可能会高声回答可以！）

师：（小结2）此例我们是设圆的一般方程，用待定系数法来求解的，通过比较，同学们会发

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

注意3：

教师要给学生一些时间，让学生做。

 

 

现，这比设圆的标准方程来求解要简单得多，这是由圆的一般方程的特点决定的，待定系数法就是求圆的一般方程的基本方法，请同学们注意多运用，形成技能。

四教学小结：

       本节棵我们学习了：

（1）圆的一般方程的定义；

（2）讨论了关于 的二元二次方程 表示圆的充要条件

       是 ；

（3）由圆的一般方程的特点决定了待定系数法是求圆的一般方程的基本方法。

五课堂练习精编与创新：

创新1已知：关于 的二元二次方程   **  表示圆的充要条件是：（①A≠0，②B=0，③C≠0，④A=C，⑤  D²+E²-4AF 0）则：

        （1）A=C≠0，B=0是方程**表示圆的（    ）条件。答案1：必要条件。

       （2）方程**表示圆的另一个必要条件是（    ）。答案2：有多个可供选填的答案，略。

       （3）由条件①②③④⑤可组成（    ）个不同的，使得方程**表示圆的必要（或必要非充分）条件。（类似于①④ ①③④我们视为相同）。答案3：26（或25）。

       2下列方程都表示图形吗？各表示什么图形？如果表示圆，请说出圆心和半径。

       （1）    （2）    （3）

       （4）   （5）

创新3已知两条相交直线 和 ，请用待定系数法求以 的交点为圆心，且过点 的圆的一般方程。答案4：

六作业：《平面解析几何》全一册（必修）第68页习题五9，10。（答案参见教参）

七创新问题：圆 关于直线 对称的充要条件是（    ）。

       （A）     ；         （B）     ；

                     （C）     ；     （D）     。

八板书设计：略。